Um Kletterschuhe kommst Du nicht rum. Es macht Dir einfach schnell keinen Spaß mehr, wenn Du nicht auf auf kleinen Tritten stehen kannst, und ständig abrutschst. Um mal abzuchecken, ob einem Klettern auch Spaß machen kann, ist es okay mit normalen Schuhen rumzuspielen, aber es ist unterschied wie Tag und Nacht. In den meisten Kletterhallen kannst Du Schuhe ausleihen, und mal probieren wie es sich anfühlt.

Auch wenn die Frage wahrscheinlich mehr aufs Hallen- und Klettergartenklettern abzielt, sei noch erwähnt, dass man auch sehr gut barfuß klettern kann. Das würde ich sogar jedem für's Felsgefühl und zum Training ab und zu empfehlen.

In der Halle macht man sich verständlicherweise nicht sehr beliebt damit, wenn man seine nackten Käsegichter auf den Plastikgriffen reibt. ;-)

Außerdem ist barfuß klettern gerade für Anfänger besonders anstrengend, da die Kraft in den Zehen und die Stützmuskulatur im Mittelfuß meist noch fehlt.

Für schwierige Routen an der Leistungsgrenze sind Kletterschuhe eines der wichtigsten "Hilfsmittel" - der Großteil deines Köpergewichts ruht dabei auf wenigen Quadratzentimetern unter den Zehenspitzen, um das optimal nutzen zu können hilft ein guter, passender Kletterschuh ungemein.

Das von xtough vorgeschlagene Barfußklettern eignet sich vor allem in Fels mit eher groben, runden Strukturen, also Sandstein und teilweise auch Granit. In scharfkantigem Fels (was Kalk meist ist) ist Barfußklettern höchstens was für Masochisten.

Wenn Du noch Anfänger bist, dann kannst Du durchaus auch anfangs mal versuchen mit gut passenden Outdoor-Freizeit-Schuhen (so Halbschuhe mit stabiler Gummisohle) versuchen zu klettern. Je nach Felsart - oder auch in leichten Routen an der Kunstwand geht das damit ziemlich gut - bis zum 4er hast damit selten große Nachteile, weil dort die Tritte meist noch recht groß sind.