Ein Rennrad muss ja auf alle Körpermaße des Fahrers angepasst sein. Wie ist das eigentlich beim Lenker? Spielt da die Breite der Schulter auch ein Rolle, oder muss ein Rennradlenker auch angepasst sein?

Ja, es gibt für die jeweilige Schulterbreite die passende Lenkerbreite, d. h. sie sollte in etwa gleich sein, also Schulterbreite gleich Lenkerbreite.
Üblich sind die Abstufungen 42, 44 und 46 mm, für sehr schmal gebaute Menschen gibt es auch, wenn auch sehr selten 40 mm Breite.
Allerdings sollte man darauf achten, dass die Hersteller teilweise unterschiedlich messen. Die meisten nehmen jeweils die Rohrmitte zugrunde (Breite = Mitte-Mitte), andere messen außen (Breite = Außen-Außen). Die Schulterbreite selbst wird absolut gemessen, also immer außen-außen, idealerweise mit Hilfe einer Person, da sie allein eher schwierig zu messen ist.